Leyenda Sobre el Tablero de Ajedrez

El ajedrez es un juego antiquísimo. Cuenta muchos siglos de existencia y por eso no es de extrañar que estén ligadas a él diferentes leyendas, cuya veracidad es difícil comprobar debido a su antigüedad. Contaremos una de estas leyendas. Para comprenderla no hace falta saber jugar  al ajedrez; basta simplemente saber que el tablero donde se juega está dividido en 64 escaques (casillas negras y blancas), dispuestas alternativamente.

 

El juego de ajedrez fue inventado en la India. Cuando el rey hindú Sheram lo conoció, quedó maravillado de lo ingenioso que era y de la variedad de posiciones que en él son posibles. Al enterarse de que el inventor era uno de sus súbditos, el rey lo mando a llamar con objeto de recompensarle personalmente por su acertado invento.

El inventor, llamado Seta, se presento ante el soberano. Era un sabio que vivía modestamente, gracias a los medios que le proporcionaban sus discípulos. 

-Seta, quiero compensarte dignamente por el ingenioso juego que has inventado- dijo el rey. El sabio contesto con una inclinación. -Soy bastante rico como para poder cumplir tu deseo más elevado- continuó diciendo el rey-. Di la recompensa que te satisfaga y la recibirás. Seta continuó callado. -No seas tímido- le animo el rey-. Expresa tu deseo. No escatimaré nada para satisfacerlo. 

-Grande es tu magnanimidad, soberano. Pero concédeme un corto plazo para meditar la respuesta. Mañana te comunicaré mi petición. 

Cuando al día siguiente Seta se presentó de nuevo ante el trono, y dejó maravillado al rey con su petición, sin precedente por su modestia.

-Mi soberano- dijo Seta-, mandad que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero de ajedrez. 

-¿Un simple grano de trigo? -contesto admirado el rey.

-Sí, mi soberano. Por la segunda casilla, ordenad que me den dos granos: por la tercera, 4; por la cuarta, 8; por la quinta 16: por la sexta, 32...

-Basta- le interrumpió irritado el rey-.Recibirás el trigo correspondiente a las 64 casillas del tablero de acuerdo a tu deseo; por cada casilla doble cantidad que por la precedente. Pero has de saber que tu petición es indigna de mi generosidad. Al pedirme tan mísera recompensa, menosprecias, irreverente, mi benevolencia.

En verdad que como sabio que eres, deberías haber dado mayor prueba de respeto ante la bondad de tu soberano. Retírate. Mis servidores te sacarán un saco con el trigo que solicitas.

Seta sonrió, abandono la sala y quedó esperando a la puerta del palacio. 

Durante la comida, el rey se acordó del inventor del ajedrez y envió para enterarse de si habían entregado ya al irreflexivo Seta su mezquina recompensa.

-Soberano, tu orden se está cumpliendo-  fue la respuesta-. Los matemáticos de la corte calculan el número de granos que le corresponden.

El rey frunció el ceño. No estaba acostumbrado a que tardaran tanto en cumplir sus órdenes.

Por la noche, al retirarse a descansar, el rey preguntó de nuevo cuanto tiempo hacía que Seta había abandonado el palacio con su saco de trigo.

-Soberano-le contestaron-, tus matemáticos trabajan sin descanso y esperan terminar los cálculos al amanecer.

-¿Por qué va tan despacio este asunto?- grito iracundo el rey- Que mañana, antes de que me despierte, hayan entregado a Seta hasta el ultimo grano de trigo. No acostumbro a dar dos veces una misma orden.

Por la mañana comunicaron al rey que el matemático mayor de la corte solicitaba audiencia para presentarle un informe muy importante.

El rey mandó que le hicieran entrar. 

-Antes de comenzar tu informe- dijo Sheram-, quiero saber si se ha entregado por fin a Seta la mísera recompensa que ha solicitado.

-Precisamente para eso me he atrevido a presentarme tan temprano- contesto el anciano-. Hemos calculado escrupulosamente la cantidad total de granos que desea recibir Seta. Resulta una cifra tan enorme... 

-Sea cual fuere su magnitud- le interrumpió con altivez el rey- mis graneros no empobrecerán. He prometido darle esa recompensa y, por lo tanto, hay que entregársela. 

-Soberano, no depende de tu voluntad el cumplir semejante deseo. En todos los graneros no existe la cantidad de trigo que exige Seta. Tampoco existe en los graneros de todo el reino. Hasta los graneros del todo el mundo son insuficientes. Si desea entregar sin falta la recompensa prometida, ordena que todos los reinos de la tierra se conviertan en labrantíos, manda a desecar los mares y océanos, ordena fundir el hielo y la nieve que cubren los lejanos desiertos del norte. Que todo el espacio sea totalmente sembrado de trigo, y toda la cosecha sea entregada a Seta. Sólo entonces recibirá su recompensa.

El rey escuchaba lleno de asombro las palabras del anciano sabio. 

-Dime cuál es esa cifra tan monstruosa- dijo reflexionando. 

-¡Oh, soberano!... Diez y ocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince... 

Esa es la leyenda.

No podemos asegurar que haya sucedido en realidad lo que hemos contado; sin embargo, la recompensa de que habla la leyenda debe expresarse por ese número; de ello pueden convencerse, haciendo ustedes mismos el cálculo.

Si se comienza por la unidad, hay que sumar las siguientes cifras: 1, 2, 4, 8, etc. El resultado obtenido tras 63 duplicaciones sucesivas nos mostrará la cantidad correspondiente a la casilla 64, que deberá recibir el inventor. Podemos hallar la suma total de granos, si duplicamos el último número, obtenido para la casilla 64, y le restamos una unidad. Es decir, el cálculo se reduce simplemente a multiplicar 64 veces seguidas la cifra dos: 2 · 2 · 2 · 2 · 2... y así sucesivamente hasta 64 veces.

De este modo, obtendremos el número de granos buscado:

18 446 744 073 709 551 615

Para hacernos una idea de la inmensidad de esta cifra gigante, calculemos aproximadamente la magnitud que deberá tener el granero capaz de de almacenar semejante cantidad de trigo. Un metro cúbico de trigo contiene aproximadamente unos 15 millones de granos. En ese caso, la recompensa del inventor del ajedrez eberá ocupar un volumen aproximado de 12 000 000 000 000 m3, o lo que es lo mismo 12 000 km3.

Si el granero tuviera 4 metros de alto y 10 metros de ancho, su longitud debería de ser de 300 000 000 de km, o sea el doble de la distancia que separa la Tierra del Sol.

La producción actual de trigo del mundo entero durante doscientos años o el número de granos de arena que hay en la playa de Copacabana, son otras medidas comparativas de los 18 trillones y medio de granos de trigo.

El rey hindú, naturalmente, no podía entregar semejante recompensa.

Sin embargo, de haber estado fuerte en matemática, hubiera podido librarse de esta deuda tan gravosa. Para ello le habría bastado simplemente proponer a Seta que él mismo contara, grano a grano, el trigo que le correspondía.

Efectivamente, si Seta, puesto a contar, hubiera trabajado noche y día, contando un grano por segundo, en el primer día habría contado 86 400 granos. Para contar un millón de granos habría necesitado, como mínimo, 10 días de continuo trabajo. Un metro cúbico de trigo lo habría contado aproximadamente en medio año.

Por consiguiente, aunque Seta hubiera consagrado el resto de su vida a contar los granos de trigo que le correspondía, habría recibido sólo una parte ínfima de la recompensa exigida.

(Bibliografía: Matemática recreativa de Yakov Perelman)

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